函数的奇偶性与对称性研究-小眼睛数学

与函数的单调性不同，函数的奇偶性是函数的整体性质，即它要求定义域中任意一个自变量都具有这样的特性。

研究函数奇偶性的过程概括起来就是：具体函数——图象特征（对称性）——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定。

从特殊到一般的思想，是人们发现规律和不变性的重要方法，也是抽象数学概念的重要过程，在平时的学习过程中我们要经常进行这样的尝试。

偶函数：$\forall x\in \mathbb{R}$，都有$f(-x)=f(x)$，偶函数的图象关于$y$轴对称；

奇函数：$\forall x\in \mathbb{R}$，都有$f(-x)=-f(x)$，奇函数的图象关于原点对称。

根据奇偶性的定义可知，具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称。

在这个过程中，我们要从深层次理解奇偶性和对称性的关系：在一个函数中，自变量$x$所对的函数值与$-x$所对的函数值是相等还是相反数决定了此函数的图象是关于$y$轴对称还是关于原点对称，与函数的表达形式无关。例如：若函数$f(x)$为奇函数，则$f(-x)=-f(x)$，若$f(x+1)$为奇函数则有$f(-x+1)=-f(x+1)$，而不是$f(-x-1)=-f(x+1)$。

我们可以从两个方面来理解这个问题：

一、可令$g(x)=f(x+1)$，若$f(x+1)$为奇函数，则$g(x)$为奇函数，所以有$g(-x)=-g(x)$，即：$f(-x+1)=-f(x+1)$。

二、若$f(-x-1)=-f(x+1)$成立，我们可以认为在函数$f(x)$中，$-x-1$和$x+1$这两个相反数所对的函数值互为相反数，则$f(x)$的图象关于原点对称，即$f(x)$为奇函数，而不是$f(x+1)$为奇函数。

在人民教育出版社数学A版教材P87的习题中，有这样一道题：

我们知道，函数$y=f(x)$的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数$y=f(x)$为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数$y=f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形的充要条件是函数$y=f(x+a)-b$为奇函数。

（1）求函数$f(x)=x^3-3x^2$图象的对称中心；

（2）类比上述推广结论写出“函数$y=f(x)$的图象关于$y$轴成轴对称图形的充要条件是函数$y=f(x)$为偶函数”的一个推广结论。

解答思路

第（1）问，可以假设函数$f(x)=x^3-3x^2$图象的对称中心为$(a,b)$，则函数$y=f(x+a)-b$为奇函数，满足$f(-x+a)-b=-\left[f(x+a)-b\right]$，利用待定系数法求解；

第（2）问，函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=a)$成轴对称图形的充要条件是函数$y=f(x+a)$为偶函数。

对于上述问题的理解，若函数$y=f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形，则$y=f(x)$的图象向左平移$a$个单位，再向下平移$b$个单位（$a>0,b>0$）后，图象关于原点对称，此时的函数变为$y=f(x+a)-b$。

因此我们得到：

定理：函数$y=f(x)$的图象关于点$P(a,b)$成中心对称图形的充要条件是$f(a+x)+f(a-x)=2b$；函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=a$成轴对称图形的充要条件是$f(a+x)=f(a-x)$。

上述定理可以进一步推广为：

定理：函数$y=f(x)$满足$f(a+x)+f(b-x)=c$的充要条件是它的图象关于点$P\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{c}{2}\right)$成中心对称图形；函数$y=f(x)$满足$f(a+x)=f(b-x)$的充要条件是它的图象关于直线$x=\dfrac{a+b}{2}$成轴对称图形。

我们来看一个例题：

已知函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$的定义域均为$\mathbb{R}$，$g\left( x+1 \right)+f\left( 1-x \right)=1$，$f\left( x+1 \right)-g\left( x+2 \right)=1$，且$y=f\left( x \right)$的图像关于直线$x=1$对称，则以下说法正确的是（）

$A$．$f\left( x \right)$和$g\left( x \right)$均为奇函数

$B$．$\forall x\in \mathbb{R},f\left( x \right)=f\left( x+4 \right)$

$C$．$\forall x\in \mathbb{R},g\left( x \right)=g\left( x+2 \right)$

$D$．$g\left( -\frac{3}{2} \right)=0$

解答过程

对于$B$，由$f(x+1)-g(x+2)=1$，得$f(x)-g(x+1)=1$，

又$g(x+1)+f(1-x)=1$，$\therefore f(x)+f(1-x)=2$，

$\because y=f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，$\therefore f(1-x)=f(1+x)$，

$\therefore f(x)+f(1+x)=2,\therefore f(x+2)+f(1+x)=2$，

$\therefore f(x)=f(x+2)$，则$f\left( x \right)$是周期函数，且周期为$T=2$，

所以$f(x)=f(x+4)$，故$B$正确；

对于$A$，$\because y=f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，

$\therefore f(-x)=f(2+x), \therefore f(x)=f(-x), \therefore f(x)$是偶函数，

若$f(x)$为奇函数，则$f(x)=0$恒成立，不满足$f(x)+f(1+x)=2$，故$A$错误；

对于$C$，由$f(x+1)-g(x+2)=1$，得$g(x)+f(2-x)=1$，$ \therefore g(x)+f(x)=1$,，$\therefore g(-x)+f(-x)=1$，

$\therefore g(x)+f(x)=1,\therefore g(2+x)+f(2+x)=1$，

因为$f(x)=f(x+2)$，则$g(x+2)=g(x)$，

所以$g(x)$是周期函数，且周期为$T=2$，则$g\left( x \right)=g\left( x+2 \right)$，故$C$正确；

对于$D$，由$f(x)+f(1-x)=2$，得$f\left( \frac{1}{2} \right)=1$，

又$f(x)=f(x+2), \therefore f\left(-\frac{3}{2}\right)=1$，

由$g(x)+f(x)=1$，得$g\left(-\frac{3}{2}\right)+f\left(-\frac{3}{2}\right)=1, \therefore g\left(-\frac{3}{2}\right)=0$，故$D$正确.

故选：$BCD.$

当一个可导函数是偶函数时，有$f(-x)=f(x)$，对这个式子两边求导可得：$-f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$，因此，它的导函数是一个奇函数，反之也成立。

同理我们可以得到：当一个可导函数是奇函数时，有$f(-x)=-f(x)$，对这个式子两边求导可得：$f^{\prime}(-x)=f^{\prime}(x)$，因此，它的导函数是一个偶函数，反之不一定成立。不成立的原因是，原函数中可能有一个多余的常数。所以我们可以这样认为：当一个可导函数$f(x)$的导函数$f^{\prime}$为偶函数时，存在一个常数$t$，使得$f(x)-t$为奇函数。可以用下面的定理来描述：

如果原函数可导、导函数为奇函数，那原函数是偶；
原函数可导且过原点，导函数为偶函的，那原函数是奇，反之也成立。

例如2022年全国一卷12题：

已知函数$f(x)$及其导函数$f^{\prime}(x)$的定义域均为$\mathbb{R}$，记$g(x)={f}^{\prime}(x)$，若$f\left( \dfrac{3}{2}-2x \right)$，$g(2+x)$均为偶函数，则（）

$A$．$f(0)=0$

$B$．$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0$

$C$．$f(-1)=f(4)$

$D$．$g(-1)=g(2)$

解答过程

对于$f(x)$，因为$f\left( \dfrac{3}{2}-2x \right)$为偶函数，所以$$f\left( \frac{3}{2}-2x \right)=f\left( \frac{3}{2}+2x \right)$$即$$f\left( \frac{3}{2}-x \right)=f\left( \frac{3}{2}+x \right)$$所以$$f\left( -x \right)=f\left( x+3 \right)①$$所以$f(x)$关于$x=\dfrac{3}{2}$对称，则$f(-1)=f(4)$，故$C$正确；

对于$g(x)$，因为$g(2+x)$为偶函数，$\therefore \exists t\in \mathbb{R}$，使得$f(2+x)-t$为奇函数，即：$$f(2+x)+f(2-x)=2t②$$所以$$f(4+x)+f(-x)=2t$$结合①可得：$$f(x+3)+f(x+4)=2t$$所以$$f(x)+f(x+14)=2t，f(x+13)+f(x+24)=2t$$因此：$f(x)=f(x+2)$，所以：$f(0)=f(2)=t$，故$A$错误；

对于$g(x)$，因为$g(2+x)$为偶函数，所以$$g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)$$所以$g(x)$关于$x=2$对称，由①求导，和$g(x)={f}'(x)$，得$${{\left[ f\left( \frac{3}{2}-x \right) \right]}^{\prime }}={{\left[ f\left( \frac{3}{2}+x \right) \right]}^{\prime }}\Leftrightarrow -{f}’\left( \frac{3}{2}-x \right)={f}’\left( \frac{3}{2}+x \right)\Leftrightarrow -g\left( \frac{3}{2}-x \right)=g\left( \frac{3}{2}+x \right)$$所以$$g\left( 3-x \right)+g\left( x \right)=0$$所以$g(x)$关于$\left(\dfrac{3}{2},0\right)$对称，因为其定义域为$\mathbb{R}$，所以$$g\left( \frac{3}{2} \right)=0$$结合$g(x)$关于$x=2$对称，从而周期$T=4\times \left( 2-\dfrac{3}{2} \right)=2$，所以$$g\left( -\frac{1}{2} \right)=g\left( \frac{3}{2} \right)=0$$即$$g\left( -1 \right)=g\left( 1 \right)=-g\left( 2 \right)$$故$B$正确，$D$错误；

故选：$BC$.

实际上，原函数和导函数除了奇偶性具有特定的关系之外，对于周期行也有相应的关系，你能自己研究吗？

已知函数$f\left( x \right)$，$g\left( x \right)$的定义域均为$\mathbb{R}$，$f\left( x+1 \right)$是奇函数，且$f\left( 1-x \right)+g\left( x \right)=2$，$f\left( x \right)+g\left( x-3 \right)=2$，则（）

$A$．$f\left( x \right)$为奇函数

$B$．$g\left( 0 \right)=2$

$C$．$\sum\limits_{k=1}^{20}{f\left( k \right)}=0$

$D$．$\sum\limits_{k=1}^{20}{g\left( k \right)}=80$

答案

因为$f(x)+g(x-3)=2$，所以$f(x+3)+g(x)=2$，

又$f(1-x)+g(x)=2$，则有$f(x+3)=f(1-x)$；

因为$f(x+1)$是奇函数，所以$f(-x+1)=-f(x+1)$，

可得$f(x+3)=-f(x+1)$，即有$f(x+2)=-f(x)$，

所以$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，

所以$f(x)$是周期为$4$的周期函数，

故$g(x)$也是周期为$4$的周期函数，

对于选项$A$，因为$f(-x+1)=-f(x+1)$，所以$-f(-x)=f(x+2)$，则$f(-x)=f(x)$，

所以$f(x)$为偶函数，故$A$错误；

对于选项$B$，因为$f(x+1)$是奇函数，

将$x=0$代入得：$f\left( 1 \right)=0$，

且$f\left( 1-x \right)+g\left( x \right)=2$，

将$x=0$代入得$g(0)=2$，所以$B$选项正确；

对于选项$C$，由$g(0)=2$，且$f\left( x \right)+g\left( x-3 \right)=2$，

将$x=3$代入得：$f\left( 3 \right)+g\left( 0 \right)=2$，

所以$f(3)=0$，

由于$f(x+2)=-f(x)$，即$f(x+2)+f(x)=0$，

得$f(2)$$+f(4)$$=f(2)$$+f(0)=0$，

因为$f(x)$是周期为4的周期函数，

所以$\sum\limits_{k=1}^{20}{f(k)}=5\left[ f(1)+f(2)+f(3)+f(4) \right]=0$，所以$C$选项正确；

对于选项$D$，因为$g(2)=2-f(5)=2-f(1)=2$，

$g(1)+g(3)=\left[ 2-f(4) \right]+\left[ 2-f(6) \right]=4-\left[ f(4)+f(2) \right]=4$，

所以$g(0)+g(1)+g(2)+g(3)=8$，

因为$g(x)$是周期为4的周期函数，

所以$\sum\limits_{k=1}^{20}{g(k)}=5\left[ g(0)+g(1)+g(2)+g(3) \right]=5\times 8=40$，

所以$D$选项不正确．

故选：$BC$．

（多选题）定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$和$g(x)$，函数$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称，且满足$f(x)+g(x+1)=2,g(x)-f(1-x)=1$，若$g(2)=2$，则（）

$A$．$f(0)=1$

$B$．函数$f(x)$的图象是中心对称图形

$C$．$f(2024)=\dfrac{1}{2}$

$D$．$g(2024)=2$

答案

由$f(x)$的图象关于直线$x=1$对称得到$f(1+x)=f(1-x)$，

再由$g(x+1)=2-f(x),g(x)=f(1-x)+1$，

即$g(x)=2-f(x-1),g(x)=f(1-x)+1$，

得到$f(x-1)+f(1-x)=1$，故 $f(x)$ 的图象关于$(0,\frac{1}{2})$对称，故$B$正确；

令 $x=1$ ，得到 $f(0)=\frac{1}{2}$ ，故$A$不正确，

由$f(x)+g(x+1)=2,g(x)-f(1-x)=1$，

$f(x+1)+g(x+2)=2,g(x)-f(1-x)=1$，即$g(x+2)+g(x)=3$，

$\therefore g(x+4)+g(x+2)=3$，$\therefore g(x+4)=g(x)$，

故得到 $g(x)$ 的周期为4，

又$f(x)+g(x+1)=2,g(1-x)-f(x)=1$，即$g(x+1)+g(1-x)=3$，即$g(x)+g(2-x)=3$，

令$x=0$，则 $g(0)+g(2)=3$ ，故 $g(0)=1$ ， $g(2024)=g(0)=1$ ，故$D$错误；

令$x=1$，则 $g(1)+g(-1+2)=3$ ，故 $g(1)=\dfrac{3}{2},$ 所以 $g(2025)=g(1)=\dfrac{3}{2}$ ，

令$x=2024$，则$f(2024)+g(2025)=2$，故$f(2024)=\dfrac{1}{2}$，所以$C$正确.

故选：$BC.$

设$f\left( x \right)$是定义在$\mathbb{R}$上的可导函数，其导数为$g\left( x \right)$，若$f\left( 3x+1 \right)$是奇函数，且对于任意的$x\in \mathbb{R}$，$f\left( 4-x \right)=f\left( x \right)$，则对于任意的$k\in \mathbb{Z}$，下列说法正确的是（）

$A$．$4k$都是$g\left( x \right)$的周期

$B$．曲线$y=g\left( x \right)$关于点$\left( 2k,0 \right)$对称

$C$．曲线$y=g\left( x \right)$关于直线$x=2k+1$对称

$D$．$g\left( x+4k \right)$都是偶函数

答案

$\because f\left( 3x+1 \right)$是奇函数，$\therefore f^{\prime}\left( 3x+1 \right)$为偶函数，

即：$3g(3x+1)=3g(-3x+1)$，$\therefore g(x+2)=g(-x)$，$g(x)$关于$x=1$对称；

又$f\left( 4-x \right)=f\left( x \right)$，$\therefore -f^{\prime}(4-x)=f^{\prime}(x)$，

即$-g(4-x)=g(x)$，$\therefore g(-x)=-g(x+4)$，$g(x)$关于$(2,0)$对称；

$\therefore g(x+2)=-g(x+4)$，$\therefore g(x)=-g(x+2)$，因此$g(x)=g(x+4)$，

$\therefore g(x)$是以$T=4$为周期的周期函数，故$g(x)$为奇函数。

故选：$BC$.

已知函数$f\left( x \right)$与函数$g\left( x \right)$的定义域均为$\mathbb{R}$，且$g\left( x \right)$是$f\left( x \right)$的导数，若$f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)$是偶函数，$g\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)$为奇函数，则（）

$A$．$f\left( 0 \right)=1$

$B$．$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0$

$C$．$f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{5}{2} \right)$

$D$．$g\left( -2 \right)=g\left( 2 \right)$

答案

$\because f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)$为偶函数，$\therefore $可得$f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)=f\left( \dfrac{1}{2}-x \right)$，$\therefore f\left(-x\right)=f\left( x+1 \right)$，

$\because g\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)$为奇函数，$\therefore f\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)$是偶函数，

$\therefore f\left( -\dfrac{1}{2}-x \right)=f\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)$，$\therefore f\left(-x\right)=f\left( x-1 \right)$，

$\therefore f\left(x-1\right)=f\left( x+1 \right)$，即：$f\left(x\right)=f\left( x+2 \right)$，

$\therefore f(x)$是以$T=2$的周期函数，

$\therefore f\left(\dfrac{5}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)\ne f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$，$f(0)$也不一定为$1$，故$A$、$C$不正确；

$\because g\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)$为奇函数，$\therefore g\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)=-g\left( -\dfrac{1}{2}-x \right)$，

所以函数$g(x)$关于点$\left( -\dfrac{1}{2},0 \right)$对称，

令$x=0$得$g\left( -\dfrac{1}{2} \right)=0$.故选项$B$正确；

$\because f\left( \dfrac{1}{2}+x \right)$为偶函数，$\therefore g\left( \dfrac{1}{2}+x \right)$为奇函数，

$g\left( \dfrac{1}{2}+x \right)+g\left( \dfrac{1}{2}-x \right)=0$，$\therefore g\left( 1+x \right)+g\left(-x \right)=0$，

又$g\left( -\dfrac{1}{2}+x \right)+g\left( -\dfrac{1}{2}-x \right)=0$，$\therefore g\left( -1+x \right)+g\left( -x \right)=0$，

$\therefore g(x+1)=g(x-1)$，即$g(x)=g(x+2)$，

$\therefore g(x)$是以$T=2$的周期函数，故选项$D$正确。

故选：$BD$。

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THE END

必修一

函数的奇偶性与对称性研究

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